剑指offer题解笔记:递归与循环 - Sanarous的博客

剑指offer题解笔记:递归与循环

斐波拉契数列

题目描述:大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0)。n<=39

斐波拉契数列应该是很多学生大一学习C语言时解决的一个问题,我记得那时候好像是用递归算法去解决的,然鹅稍微懂一些数据结构的小伙伴应该都知道,斐波拉契数列是最好不使用递归算法的,为什么呢,因为递归计算斐波拉契数列的时候重复计算项很多,而且越到后面计算量越来越爆炸,最后会导致运行超时,比如栈溢出等exception,如果我们使用递归,代码确实简洁了,比如下面:

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public int Fibonacci(int n){
if(n < 1) return 0;

if(n == 1) return 1;

return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

但是比如我们想求解第10项数据的时候,我们以f(10)表示第10项斐波拉契结果,那么用递归运行时会出现下面结构:

不难看出,重复的节点会随着n的增大而急剧增大,事实上也是,用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数方式递增的,不妨可以使用递归计算一下Fibonacci的第100项,看看会慢到什么程度。

所以实用解法肯定不是这种啦。

而改进方法,实际上目的就是为了避免上面的重复计算,那么我们实际上用一个数列保存已经计算过的数。于是我们可以写出如下代码:

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public int Fibonacci(int n) {
if(n < 1){
return 0;
}
if(n == 1 || n == 2){
return 1;
}
if(n == 3){
return 2;
}
int fib1 = 1;
int fib2 = 2;
int result = 0;
for(int i = 3 ; i < n ; i++){
result = fib1 + fib2;
fib1 = fib2;
fib2 = result;
}
return result;
}

上面代码就可以简约的搞定问题了!

青蛙跳台阶问题

题目描述:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

首先我们可以从最简单的情况开始考虑,如果只有一级台阶,那显然只能跳一次。如果有两级台阶,那么就有两种跳法:一种是每次跳一级;另一种是一次跳两级。

然后我们将这种情况一般化,假如有n级台阶,可以把跳n级台阶的跳法看作是n的函数f(n)。当n>2时,第一次跳的时候就有两种选择:

  • 第一次跳一级,那么跳法数目等于后面的n-1级台阶的跳法数目,即为f(n-1)
  • 第一次跳两级,那么跳法数目等于后面的n-2级台阶的跳法数目,即为f(n-2)

因此,n级台阶的不同跳法数目的总数为f(n)=f(n-1)+f(n-2),到这里应该可以看出,说到底这个问题就是一个包装的斐波拉契数列问题。

那么代码其实跟上面的没啥区别:

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 public int JumpFloor(int target) {
if(target <= 2){
return target;
}
int pre1 = 1;
int pre2 = 2;
int result = 0;
for(int i = 2;i < target; i++){
result = pre1 + pre2;
pre1 = pre2;
pre2 = result;
}
return result;
}

变态青蛙跳台阶

题目描述:这次这只青蛙很变态,一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这个其实问题更不大,这本质上就是一个简单的数学问题,我们可以根据上面那个问题归纳这个问题:

n级台阶时,这时候跳法就很多了:

  • 第一次跳一级,那么剩下的就是f(n-1)
  • 第一次跳两级,那么剩下的就是f(n-2)
  • 第一次跳三级,那么剩下的就是f(n-3)
  • ….
  • 第一次跳n-1级,那么剩下就是f(1).

那么实际上就是f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(1),又因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)

,所以f(n)=2f(n-1)

到这里应该可以看出来了吧?这不就是一个等比数列吗,并且f(1)=1

那么实际上f(n)=2^(n-1),完事!

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public int JumpFloorII1(int target){
return (int)java.util.Math.pow(2,target-1);
}

矩形覆盖

题目描述:我们可以用2x1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2x1的小矩形无重叠地覆盖一个2xn的大矩形,总共有多少种方法?

这个就借用牛客网答题者csdong的回答,很简单易懂:

所以跟上面的还是没区别。。。依然是老瓶装新酒。

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public int RectCover(int target) {
if(target <= 2){
return target;
}
int pre1 = 1,pre2 = 2;
int result = 0;
for(int i = 3; i <= target;i++){
result = pre1 + pre2;
pre1 = pre2;
pre2 = result;
}
return result;
}
如果这篇文章对您很有帮助,不妨
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